「𝝿」到底是什麼？度、弧度又是...？

圓周率「𝝿」是什麼？而熟悉的一圈為 360度是怎麼被訂定的？弧度又是什麼？

圓周率「𝝿」

圓周率約為「 3.1415926 」，它被歸類在常數中，且是無理數，是個 無限不循環小數 同時也是一個 超越數 ，數學用小寫希臘字母「 𝝿 」符號表示，發音相似於「 pie 」，源自希臘語「 περίμετρος ( 周長 )」的首字母。

圓周率的意思是？

圓周率讓人感覺很抽象，但其實就只是指「一半的圓周與半徑之比」，又或者可以說是「圓周與直徑之比」。也就是代表一圓的 周長 與 直徑 的 比例關係 ( 比值 )。

由於 周長 是該圓 直徑 的 3.1415926.... 倍，因此將這個無理數定義成「 𝝿 」符號，命名為 圓周率 。所以才會出現 周長 算 圓周長 的公式「 2r 𝝿 」。( r 為半徑)

degree 與 radian

degree 與 radian 都是表示 角 的大小，將其 單位量化 後的表示方式。

其中較常被使用的是「 degree 」也就是所謂的「 度 度量」，簡稱「 deg 」。(e.g. 一圈等於 360 deg)
而「 radian 」中文翻譯為「 弧度 」或者「 弳度 」，簡稱「 rad 」。
其中「 弳 」這個字很有趣，它是弧度的「 弧 」與半徑的「 徑 」取字旁而選的字。

圓弧產生出角度單位

一開始的圓在訂定角度單位之前，先稱某角為 theta ，該圓半徑為 r ，而 theta 與某弧長 S 與 r 有絕對的 比例關係 ，這個才是一切的重點…

「角 theta 對 S 與 r 之間的 比例關係 」才是這些角度單位的指標。(當 半徑 r 相同 ，且 弧長 S 越長 ，則 角 theta 越大 )

弳 (radian, rad)
得到了比例「 S / r 」後… 欸等等！這麼一來不就是一個 單位量 了嗎？
對的，這個 單位量 就命名做「 radian 」簡稱「 rad 」中文稱作「 弳 」。
因此 角 theta 可以表示成「 theta = S / r 」即是使用 弳度 表示該 theta 角的大小。
就這樣，現在大家所使用的「 弧度 」被定義了， 弧 衍生出了表示 角大小 的 單位量 。
若定義 圓弧 S 為 圓周長 ，可以寫成「 S = 2r 𝝿 」。
因此將表示 角大小 的 弳度 式子「 theta = S / r 」寫作「 theta = (2r 𝝿) / r 」化簡得「 theta = 2 𝝿 」。因此 一周角 相當於「 2 𝝿 」單位 rad 。

度 (degree, deg)
若我們將 圓周長 S 劃分成 360 等分
並且將其中 一等份 所對應的 角度大小 當作一個 單位 ，這單位就叫做 degree 簡稱 deg ，也就是大家目前常用的 度 度量。
1 deg 也可以寫作「 1° 」，所對應的弧長為 (2 𝝿 / 360) / r 。

補充

梯度 (Gradian, GRAD)
這也是一個單位，其定義為 一圓周長 平均分為 400 等分，每一等份為 1 grad 。
由於寫在這是因為，這東西真的比較少人在用，就不聚焦在這了。

換算
一周角 = 360 deg = 2 𝝿 rad = 400 grad

無單位
有些人不能理解為什麼說 deg 與 rad 是 無單位 的… (~~對就是我~~)
就好比常見的寬螢幕 長寬比 為「 16:9 」，試問 16 與 9 的單位是什麼一樣。
「 S / r 」該算式只是用來表示 圓周長 與 半徑 之間的比例關係，自然就不需要有 單位 。